Рекомендовано Учебно-методическим советом Московского физико-технического
института (государственного университета) в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений по направлению "Прикладные
математики и физика"
Учебное пособие написано на основе курса лекций, читаемых автором
студентам второго курса в Московском физико-техническом институте (государственном
университете).
Для студентов математических, физических и инженерных
специальностей.
Усл. печ. л. 30. Уч.-изд. л. 33,3. Тираж 1000 экз. ББК 22.161. УДК 517(075.8).
Авторский индекс Я 47.
Предисловие
Настоящее учебное пособие написано на основе лекций по
математическому анализу, читаемых автором студентам второго курса Московского
физико-технического института. Оно представляет собой вторую часть
двухгодичного курса и состоит из восьми глав, нумерация которых продолжает
нумерацию глав первой части.
Глава 10 посвящена неявным функциям, определяемым одним
или несколькими уравнениями, дифференцируемым отображениям, в частности,
доказываются теорема о существовании обратного отображения и теорема о локальном
расщеплении непрерывно дифференцируемого отображения на простые, каждое
из которых меняет только одну из координат. Здесь же рассматриваются
зависимые и независимые системы функций, а также поверхности и
k-мерные многообразия в n-мерном пространстве. Вконце главы изучаются
локальные и условные экстремумы функций многих переменных, в частности,
доказываются необходимые и достаточные условия для максимумов и минимумов.
В главе 11 изучаются интегрируемые по Риману функции многих
переменных.Доказывается критерий интегрируемости. Отмечается особая роль разбиений,
мелкость которых стремится к нулю, и на их основе доказываются основные
свойства интегрируемых функций и простых интегралов: линейность,
монотонность, аддитивность, теорема о среднем и теоремы о предельном переходе
под знаком интеграла. Доказываются теорема о сведении кратного интеграла
к повторному, теорема о мере образа при дифференцируемом отображении и на
ее основе теорема о замене переменных интегрирования в кратном интеграле.
Здесь же изучаются несобственные кратные интегралы. В качестве приема
применения кратных интегралов рассматриваются интегралы от функций
по поверхностям в R3. Кроме того, рассматриваются мера k-мерной
поверхности в Rn и интегралы от функций по таким поверхностям.
Глава 12 содержит вывод основных интегральных формул для
функций многих переменных: формулы Грина на плоскости для областей с кусочно-гладкими
границами, формулы Стокса в R3 для гладких и кусочно-гладких поверхностей
и формулы Остроградского-Гаусса в R3 для областей с гладкими и
кусочно-гладкими границами. В конце рассматриваются интегралы от
дифференциальных форм и общая формула Стокса.
В главе 13 излагаются некоторые сведения из векторного анализа
и теории поля, в частности, рассматриваются дифференциальные операторы grad,
rot и div и их связь с дифференциальными формами в R3.
В конце главы выводятся некоторые уравнения математической физики: уравнение
теплопроводности, уравнение неразрывности и гидродинамические уравнения
Эйлера.
Глава 14 посвящена рядам Фурье, в основном тригонометрическим.
Доказываются признаки Липшица, Дини и Дирихле поточечной и равномерной сходимости
тригонометрических рядов. Здесь же доказываются теоремы Вейерштрасса о
приближении непрерывных функций тригонометрическими и алгебраическими
многочленами. В конце главы рассматриваются ряды Фурье по ортогональным
системам в пространстве интегрируемых с квадратом функций.
В главе 15 изучаются свойства собственных и несобственных
интегралов, зависящих от параметра. Много внимания уделяется свойствам интеграла
Фурье и преобразований Фурье как в одномерном, так и в многомерном случаях.
Здесь же рассматривается свертка функций.
В главе 16 рассмотрены некоторые методы получения асимптотических
оценок. Здесь получены главные члены асимптотик интегралов Лапласа и Фурье.
В частности, рассмотрен метод стационарной фазы.
Последняя глава 17 является некоторым введением в функциональный
анализ. Здесь рассматриваются метрические, нормированные и гильбертовы пространства
и операторы в этих пространствах. В конце главы рассмотрены пространства
обобщенных функций.
Как уже сказано в предисловии к первой части "Лекций...", данное
пособие предназначено студентам технических вузов с расширенной программой по
математике. Оно может быть использовано и для самостоятельного изучения
некоторых вопросов математического анализа.
В заключение хочу поблагодарить всех сотрудников кафедры высшей
математики Московского физико-технического института. Общение с ними во многом
определило содержание и стиль изложения данного пособия. Особо хочу
поблагодарить моих студентов. Читать лекции таким понимающим и
заинтересованным слушателям -- большое удовольствие и большая честь.
Издание настоящего пособия оказалось возможным благодаря
поддержке Федеральной целевой программе "Интеграция". Этой программе и
издательству "Физматлит" автор выражает глубокую благодарность.
