Г. Н. ЯКОВЛЕВ

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Часть 2

Рекомендовано Учебно-методическим советом Московского физико-технического института (государственного университета) в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений по направлению "Прикладные математики и физика"

Серия "Лекции кафедры высшей математики МФТИ"

ЯКОВЛЕВ Г. Н. Лекции по математическому анализу. Ч. 2: Учеб. пособие для вузов. -- М.: Издательство Физико-математической литературы, 2001. -- 480 с. -- ISBN 5-94052-038-3.

   Учебное пособие написано на основе курса лекций, читаемых автором студентам второго курса в Московском физико-техническом институте (государственном университете).
   Для студентов математических, физических и инженерных специальностей.

Усл. печ. л. 30. Уч.-изд. л. 33,3. Тираж 1000 экз. ББК 22.161. УДК 517(075.8). Авторский индекс Я 47.

Предисловие
   Настоящее учебное пособие написано на основе лекций по математическому анализу, читаемых автором студентам второго курса Московского физико-технического института. Оно представляет собой вторую часть двухгодичного курса и состоит из восьми глав, нумерация которых продолжает нумерацию глав первой части.
   Глава 10 посвящена неявным функциям, определяемым одним или несколькими уравнениями, дифференцируемым отображениям, в частности, доказываются теорема о существовании обратного отображения и теорема о локальном расщеплении непрерывно дифференцируемого отображения на простые, каждое из которых меняет только одну из координат. Здесь же рассматриваются зависимые и независимые системы функций, а также поверхности и k-мерные многообразия в n-мерном пространстве. Вконце главы изучаются локальные и условные экстремумы функций многих переменных, в частности, доказываются необходимые и достаточные условия для максимумов и минимумов.
   В главе 11 изучаются интегрируемые по Риману функции многих переменных.Доказывается критерий интегрируемости. Отмечается особая роль разбиений, мелкость которых стремится к нулю, и на их основе доказываются основные свойства интегрируемых функций и простых интегралов: линейность, монотонность, аддитивность, теорема о среднем и теоремы о предельном переходе под знаком интеграла. Доказываются теорема о сведении кратного интеграла к повторному, теорема о мере образа при дифференцируемом отображении и на ее основе теорема о замене переменных интегрирования в кратном интеграле. Здесь же изучаются несобственные кратные интегралы. В качестве приема применения кратных интегралов рассматриваются интегралы от функций по поверхностям в R3. Кроме того, рассматриваются мера k-мерной поверхности в Rn и интегралы от функций по таким поверхностям.
   Глава 12 содержит вывод основных интегральных формул для функций многих переменных: формулы Грина на плоскости для областей с кусочно-гладкими границами, формулы Стокса в R3 для гладких и кусочно-гладких поверхностей и формулы Остроградского-Гаусса в R3 для областей с гладкими и кусочно-гладкими границами. В конце рассматриваются интегралы от дифференциальных форм и общая формула Стокса.
   В главе 13 излагаются некоторые сведения из векторного анализа и теории поля, в частности, рассматриваются дифференциальные операторы grad, rot и div и их связь с дифференциальными формами в R3. В конце главы выводятся некоторые уравнения математической физики: уравнение теплопроводности, уравнение неразрывности и гидродинамические уравнения Эйлера.
   Глава 14 посвящена рядам Фурье, в основном тригонометрическим. Доказываются признаки Липшица, Дини и Дирихле поточечной и равномерной сходимости тригонометрических рядов. Здесь же доказываются теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывных функций тригонометрическими и алгебраическими многочленами. В конце главы рассматриваются ряды Фурье по ортогональным системам в пространстве интегрируемых с квадратом функций.
   В главе 15 изучаются свойства собственных и несобственных интегралов, зависящих от параметра. Много внимания уделяется свойствам интеграла Фурье и преобразований Фурье как в одномерном, так и в многомерном случаях. Здесь же рассматривается свертка функций.
   В главе 16 рассмотрены некоторые методы получения асимптотических оценок. Здесь получены главные члены асимптотик интегралов Лапласа и Фурье. В частности, рассмотрен метод стационарной фазы.
   Последняя глава 17 является некоторым введением в функциональный анализ. Здесь рассматриваются метрические, нормированные и гильбертовы пространства и операторы в этих пространствах. В конце главы рассмотрены пространства обобщенных функций.
   Как уже сказано в предисловии к первой части "Лекций...", данное пособие предназначено студентам технических вузов с расширенной программой по математике. Оно может быть использовано и для самостоятельного изучения некоторых вопросов математического анализа.
   В заключение хочу поблагодарить всех сотрудников кафедры высшей математики Московского физико-технического института. Общение с ними во многом определило содержание и стиль изложения данного пособия. Особо хочу поблагодарить моих студентов. Читать лекции таким понимающим и заинтересованным слушателям -- большое удовольствие и большая честь.
   Издание настоящего пособия оказалось возможным благодаря поддержке Федеральной целевой программе "Интеграция". Этой программе и издательству "Физматлит" автор выражает глубокую благодарность.

Rambler's Top100 TopList

Hosted by uCoz