Рекомендовано Учебно-методическим советом Московского физико-технического
института (государственного университета) в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений по направлению "Прикладные
математики и физика"
Учебное пособие написано на основе курса лекций, читаемых автором
студентам первого курса в Московском физико-техническом институте (государственном
университете).
Для студентов математических, физических и инженерных
специальностей.
Усл. печ. л. 25. Уч.-изд. л. 27,5. Тираж 1000 экз. ББК 22.161. УДК 517(075.8).
Авторский индекс Я 47.
Предисловие
Настоящее учебное пособие написано на основе лекций по
математическому анализу, читаемых автором студентам первого курса Московского
физико-технического института. Оно представляет собой первую часть
двухгодичного курса и состоит из восьми глав, что соответствует двум первым семестрам. Первая часть учебного пособия содержит девять глав.
В первой главе на основе представления действительных
чисел в виде бесконечных десятичных дробей изучаются числовые
последовательности и строится арифметика действительных чисел. Кроме
того, рассматриваются различные числовые множества: конечные и бесконечные,
счетные и несчетные, открытые и замкнутые, измеримые и неизмеримые.
Вторая глава посвящена в основном изучению свойств функций, непрерывных в точке или на некотором множестве. В частности, доказывается
что пр непрерывном отображении образом компакта является компакт, а образом
промежутка -- промежуток.
В третьей главе даются определения производных и дифференциалов, выводятся правила дифференцирования и доказываются
теоремы о среднем для дифференцируемых функций. В конце рассматриваются
первообразные и неопределенные интегралы.
Четвертая глава посвящена ислледованию функций с помощью
производных: доказываются правила Лопиталя раскрытия неопределенностей,
изучаются асимптотические разожения по формуле Тейлора, устанавливаются условия
монотонности и выпуклости дифференцируемых функций и условия существования точек экстремума и точек перегиба.
В пятой главе изучаются векторные функции и кривые на плоскости
и в пространстве: длины дуги, кривизна и кручение и их свойства.
В шестой главе рассматриваются функции многих переменных,
множества точек n-мерного пространства, вводятся некоторые понятия
анализа в области комплексных чисел, в частности, доказывается основная
теорема алгебры.
В седьмой главе систематически излагается теория интегрирования
функций одной переменной. Изучаются как собственные, так и несобственные
интегралы и их приложения. Кроме того, рассматриваются криволинейные интегралы и
интегралы от функции комплексного переменного.
В последних двух главах излагается теория числовых и функциональных рядов, включая степенные. Особое внимание уделяется
свойствам равномерно сходящихся рядов и последовательностей.
Пособие предназначено студентам технических вузов с
расширенной программой по математике. Оно может быть использовано и для
самостоятельного изучения некоторых вопросов анализа.
В заключение хочу поблагодарить всех членов кафедры высшей математики Московского физико-технического института. Особую благоданость
приношу моему учителю, члену-корреспонденту РАН профессору
Л. Д. Кудрявцеву и учителю многих математиков академику РАН
профессору С. М. Никольскому. По их замечательным учебникам учились и учатся
многие поколения студентов во всем мире, по ним учился и автор этих лекций.
В оформлении рукописи большую помощь мне оказал сотрудник кафедры
А. Полозов.
Данная книга выходит в серии "Лекции кафедры высшей
математики МФТИ". В этой серии предполагается выход второй части лекций по
математическому анализу, а также лекций по уравнениям математической физики и
лекций по тензорному анализу.
Издание настоящего пособия оказалось возможным благодаря
поддержке Федеральной целевой программы "Интеграция", за что автор выражает
глубокую благодарность.
